Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N₊，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3且（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，寫出n≥2時(shí)的遞推式，作差后對(duì)n分偶數(shù)和奇數(shù)討論，求出數(shù)列通項(xiàng)公式，可得函數(shù)a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為a₁=-$\frac{3}{4}$，函數(shù)a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為a₂=$\frac{11}{4}$，再由（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3，得a₁=-$\frac{3}{4}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n-1）+3
=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1，
若n為偶數(shù)，則a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n為正奇數(shù)）；
若n為奇數(shù)，則a_n-1=-2a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1=2（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1）-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）．
函數(shù)a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為a₁=-$\frac{3}{4}$，
函數(shù)a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為a₂=$\frac{11}{4}$，
若（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立，
則a₁＜t＜a₂，即-$\frac{3}{4}$＜t＜$\frac{11}{4}$．
故答案為：（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．