Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+d在x=±1處取得極值．
（1）判斷f（1）和f（-1）是函數(shù)y=f（x）的極大值還是極小值，并說明理由；
（2）若函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 通過求導(dǎo)，利用±1為極值點(diǎn)可知a=1，b=0，進(jìn)而可知f′（x）=3x²-3，f（x）=x³-3x+d．
（1）通過列表展示函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知只需極大值大于零、極小值小于零即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²-3x+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
又∵f（x）在x=±1處取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x²-3，f（x）=x³-3x+d．
（1）列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	2+d	↓	-2+d	↑

由表可知，f（1）是函數(shù)y=f（x）的極小值，f（-1）是函數(shù)y=f（x）的極大值；
（2）由（1）可知，函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2+d＞0}\\{f（1）=-2+d＜0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜d＜2，
故d的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．