Question

11．如圖，在三棱錐A-BCD中，AD=BD，∠ABC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，AC上，點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，平面EFG∥平面BCD．證明：
（Ⅰ）EF=$\frac{1}{2}$BC；
（Ⅱ）平面EFD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出EF∥BC，EG∥BD，F(xiàn)G∥DC，由點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，能證明EF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出DE⊥AB，EF⊥AB，從而AB⊥平面EFD，由此能證明平面EFD⊥平面ABC．

解答 證明：（Ⅰ）∵在三棱錐A-BCD中，AD=BD，∠ABC=90°，
點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，AC上，點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，平面EFG∥平面BCD，
∴EF∥BC，EG∥BD，F(xiàn)G∥DC，
∵點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅱ）∵AD=BD，E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，
∵∠ABC=90°，EF∥BC，∴EF⊥AB，
∵DE∩EF=E，∴AB⊥平面EFD，
∵AB?平面ABC，∴平面EFD⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位線定理的應(yīng)用，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．