Question

14．等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃+a₅=a₄+7，S₁₀=100．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求滿足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

Answer 1

分析 （1）由a₃+a₅=a₄+7，S₁₀=100，列出方程組，求出首項和公差，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由a₁=1，a_n=2n-1，求出S_n=n²，從而得到n²-6n+5＜0，由此能求出n的值．

解答 （本題10分）
解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
由a₃+a₅=a₄+7，得2a₁+6d=a₁+3d+7，①．…（1分）
由S₁₀=100，得10a₁+45d=100，②…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（4分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（5分）
（2）因為a₁=1，a_n=2n-1，所以${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n²，…（7分）
由不等式S_n＜3a_n-2，得n²＜3（2n-1）-2，
所以，n²-6n+5＜0，
解得1＜n＜5，…（9分）
因為n∈N^*，
所以n的值為2，3，4．…（10分）

點評 本題考查等差數列的通項公式、項數n的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．