Question

19．已知兩點$A（\sqrt{3}，0），C（-\sqrt{3}，0）$，若一動點Q在運(yùn)動過程中總滿足|AQ|+|CQ|=4，O為坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，求點Q的軌跡E的方程．
（2）設(shè)過點B（0，-2）的直線與E交于M，N兩點，當(dāng)△OMN的面積為1時，求此直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義知Q點的軌跡是橢圓，由此能求出點Q的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線為：y=kx-2，將y=kx-2代入橢圓方程，（1+4k²）x²-16kx+12=0．由此利用根的判斷式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出直線方程．

解答 解：（1）由題意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…（2分）
∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2$\sqrt{3}$，
由橢圓定義知Q點的軌跡是橢圓，…（4分）
2a=4，即a=2，2c=2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，
∴b²=4-3=1，
∴點Q的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（6分）
（2）由題意知所求的直線不可能垂直于x軸，所以可設(shè)直線為：y=kx-2，…（7分）
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx-2代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1中得$（1+4k²）x²-$16kx+12=0，△＞0得{k^2}＞\frac{3}{4}$．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…（8分）
$又∵{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•|{OB}|•$|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$=1．…（10分）
解得k=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$，滿足△＞0．∴$所求的直線方程為y=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}x$-2．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判斷式、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．