Question

14．已知拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程是x=-1．
（I）求此拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OFM的面積．

Answer 1

分析 （I）利用準(zhǔn)線方程是x=-1，求此拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3，利用拋物線的定義求出M的坐標(biāo)，即可求△OFM的面積．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線方程為x=-1，
所以$\frac{p}{2}=1$…（2分）
得p=2…（4分）
所以，拋物線的方程為 y²=4x…（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），因?yàn)辄c(diǎn)M（x₀，y₀）在拋物線上，且|MF|=3，
由拋物線定義知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$=3…（8分）
得x₀=2…（10分）
由M（2，y₀）在拋物線上，滿足拋物線的方程為y²=4x知y₀=±2$\sqrt{2}$…（12分）
所以△OMP的面積為$\frac{1}{2}|OF|$|y₀|=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．