Question

17．已知拋物線y²=2x的焦點為F，定點A（3，2），在此拋物線上求一點P，使|PA|+|PF|最小，則P點的坐標為（2，2）．

Answer 1

分析 求出焦點坐標和準線方程，設點P到準線的距離為d=|PM|，把|PA|+|PF|轉化為|PA|+|PM|，利用當P、A、M三點共線時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入拋物線y²=2x，解得x值，即得P的坐標．

解答 解：由題意得 F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程為 x=-$\frac{1}{2}$，設點P到準線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故當P、A、M三點共線時，|PA|+|PF|取得最小值為|AM|=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
把 y=2代入拋物線y²=2x 得 x=2，故點P的坐標是（2，2），
故答案為：（2，2）．

點評 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應用，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．