Question

9．如圖，在△ABC中，點D為邊AC的中點，3AE=AB，BD=CE交于點P，設$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AC}$
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{CE}$；
（2）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AP}$．

Answer 1

分析 （1）利用向量的基本定理，結合向量三角形的法則即可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{CE}$；
（2）設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{EP}$=μ$\overrightarrow{EC}$，結合向量三角形的法則即可求出$\overrightarrow{AP}$．

解答 解：（1）∵3AE=AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AB，即$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}$=$-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$；
（2）設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$=λ（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
$\overrightarrow{EP}$=μ$\overrightarrow{EC}$=μ（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$），
$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{EP}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=μ（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=μ$\overrightarrow{AC}$-（$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BP}$，
∴μ$\overrightarrow{AC}$-（$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{AB}$，
則μ=$\frac{1}{2}$λ，$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$=λ，
則 λ=$\frac{4}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+4×（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow$．

點評 本題主要考查向量的基本定理，利用向量三角形法則以及向量共線定理是解決本題的關鍵．綜合性較強．