Question

2．已知命題p：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，命題q：函數(shù)y=log_a（1-2x）在定義域上單調(diào)遞增，若“p∨q”為真命題且“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出命題的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．
當(dāng)a=2時(shí)不等式等價(jià)為-4＜0成立，
當(dāng)a≠2時(shí)，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜2，
綜上-2＜a≤2．即p：-2＜a≤2，
函數(shù)y=log_a（1-2x）在定義域上單調(diào)遞增，可得0＜a＜1，即q：0＜a＜1，
若“p∨q”為真命題且“p∧q”為假命題，
則p，q為一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a≤2}\\{a≥1或a≤0}\end{array}\right.$即1≤a≤2或-2＜a≤0，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2或a≤-2}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，此時(shí)無(wú)解，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2或-2＜a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的應(yīng)用，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．