Question

17．已知數列{a_n}的前n項的和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
（1）求{a_n}的通項公式a_n；
（2）當n≥2時，a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可得出；
（2）變形利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
∴當n=1時，a₁=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-2．
當n=1時，上式成立，∴a_n=3n-2．
（2）a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ，即3n+1+$\frac{λ}{3n-2}$≥λ，化為：λ≤$\frac{1}{3}$$[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]$，
∵當n≥2時，a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，
∴λ≤$\frac{1}{3}[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]_{min}$，
∵$[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]$≥$2\sqrt{9（n-1）×\frac{4}{n-1}}$+15，
取整數n=2時，$\frac{1}{3}[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]_{min}$=$\frac{28}{3}$．
∴λ≤$\frac{28}{3}$．
∴實數λ的取值范圍是λ≤$\frac{28}{3}$．

點評 本題考查了遞推關系、數列的單調性、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．