Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2，x∈[-5，5]
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）用g（a）表示函數(shù)y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）可求出f（x）的對(duì)稱軸為x=a，而要使y=f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減，則需滿足a≥5，這便得到了a的取值范圍；
（2）可討論對(duì)稱軸x=a和區(qū)間[-5，5]的關(guān)系：分a≤-5，-5＜a＜5，和a≥5三種情況，然后根據(jù)f（x）在[-5，5]上的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求出每種情況的f（x）的最小值，從而便可得出g（a）的解析式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=a；
∵f（x）在[-5，5]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
∴a≥5；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）；
（2）①當(dāng)a≤-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（-5）=27+10a；
②當(dāng)-5＜a＜5時(shí)，$f（x）_{min}=f（a）=-{a}^{2}+2$；
③當(dāng)a≥5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減；
∴f（x）_min=f（5）=27-10a；
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{27+10a}&{a≤-5}\\{-{a}^{2}+2}&{-5＜a＜5}\\{27-10a}&{a≥5}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求其在閉區(qū)間上的最小值的方法．