Question

20．已知直線l與兩坐標軸分別相交于點A、B．且S_△AOB=8．若AB的長等于原點O到直線l的距離的2倍，則直線l的方程為x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0．

Answer 1

分析 設直線的截距式方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，由題意可得ab的方程組，解方程組可得．

解答 解：由題意設直線的截距式方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，
化為一般式可得bx+ay-ab=0，
由題意可得S=$\frac{1}{2}$|ab|=8，即|ab|=16，①
再由點到直線的距離公式可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，即a²+b²=2|ab|，②
聯(lián)立①②可解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴所求直線的方程為x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0
故答案為：x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0

點評 本題考查直線的截距式方程，涉及點到直線的距離公式和三角形的面積公式，屬中檔題．