Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+x²-$\frac{1}{27}$，則關(guān)于x的方程3（f（x））²+2f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=3x²+2x=x（3x+2），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，再由3（f（x））²+2f（x）=0得f（x）=0或f（x）=-$\frac{2}{3}$；從而解得．

解答 解：∵f（x）=x³+x²-$\frac{1}{27}$，
∴f′（x）=3x²+2x=x（3x+2），
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上是增函數(shù)，
在（-$\frac{2}{3}$，0）上是減函數(shù)，（0，+∞）上是增函數(shù)；
且f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$-$\frac{1}{27}$=$\frac{1}{9}$，f（0）=-$\frac{1}{27}$，
∵3（f（x））²+2f（x）=0，
∴f（x）=0或f（x）=-$\frac{2}{3}$；
故f（x）=0有三個(gè)解，f（x）=-$\frac{2}{3}$有一個(gè)解；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．