Question

2．根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：
（1）已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
（2）已知$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$，求f（x）
（3）若f（x）滿足$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=ax$，求f（x）．

Answer 1

分析 求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)f（x）的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知f[g（x）]表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由于f（0）=0，得：f（x）=ax²+bx，
又由f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
即　ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1\\ a≠0\\ a+b=1\end{array}\right.∴a=b=\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x$；
（2）設(shè)$u=\sqrt{x}+1\begin{array}{l}{\;}&{（x≥0）$，
∴f（u）=（u-1）²+2（u-1）=u²-1，（u≥1），
∴f（x）=x²-1（x≥1）
（3）用$\frac{1}{x}$代x可得：$f（\frac{1}{x}）+2f（x）=a\frac{1}{x}$，與　$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=ax$
聯(lián)列可消去$f（\frac{1}{x}）$得：f（x）=$\frac{2a}{3x}-\frac{ax}{3}$．

點(diǎn)評 抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了其他一些條件（如：定義域、經(jīng)過的特殊的點(diǎn)、解析遞推式、部分圖象特征等），它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與大學(xué)的一個(gè)銜接點(diǎn)．因無具體解析式，理解研究起來往往很困難．但利用函數(shù)模型往往能幫我們理清題意，尋找解題思路，從而方便快捷的解決問題．