Question

11．從雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=4的切線l，切點(diǎn)為T，且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若點(diǎn)M是線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|-|TM|的值為$\sqrt{5}-2$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，OM，OT．可得OT⊥FT，|FT|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|，又|PF|-|PF′|=2a=4，利用|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，OM，OT．
∵OT⊥FT，
∴|FT|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|，
|PF|-|PF′|=2a=4，
∴|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）
=|FT|+$\frac{1}{2}$（|PF′|-|PF|）
=$\sqrt{5}-2$．
故答案為：$\sqrt{5}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．