Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ），使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1; （Ⅱ）;（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.004.png">，所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.006.png">，所以，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.010.png">，，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．（Ⅱ）因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.012.png">等價(jià)于，所以 ，使得不等式成立，等價(jià)于，即．利用導(dǎo)數(shù)，解不等式即可求出結(jié)果；（Ⅲ）采用分析證明發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系即可求證結(jié)論.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1． 1分

理由如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.004.png">，所以． 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.006.png">，所以，

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)． 3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.010.png">，，

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得

函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1． 4分

（Ⅱ）因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601335070824445_DA/SYS201504080601335070824445_DA.012.png">等價(jià)于，

所以 ，使得不等式成立，等價(jià)于

，即． 6分

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值． 7分

又，由于，

所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，

因此，時(shí)，取得最大值． 8分

所以，所以．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于，只要證． 10分

下面證明時(shí)，不等式成立．

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得極小值也就是最小值為1．

令，其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，

直線取得斜率的最大值為． 12分

故時(shí)，；時(shí)，． 13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立． 14分.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用；3.恒成立問(wèn)題.