Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x³+2ax在（0，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導函數(shù)，由函數(shù)f（x）=-x³+2ax在（0，1]上單調(diào)遞增，所以f′（x）=-3x²+2a≥0在（0，1]上恒成立，分離變量后利用函數(shù)的單調(diào)性求實數(shù)a的范圍．

解答 解：由f（x）=-x³+2ax，所以f′（x）=-3x²+2a，
因為f（x）=-x³+2ax在（0，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f′（x）=-3x²+2a≥0在（0，1]上恒成立．
即2a≥3x²，在（0，1]上恒成立．
因為函數(shù)y=3x²≤3在（0，1]上恒成立，
所以a≥$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導函數(shù)的關系，訓練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．