Question

12．（1）求（2-$\sqrt{x}$）⁸展開式中不含x⁴項的系數(shù)的和；
（2）若C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=363，求自然數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1得（2-$\sqrt{x}$）⁸展開式中的各項系數(shù)和為1，再求得含x⁴項的系數(shù)，可得（2-$\sqrt{x}$）⁸展開式中不含x⁴項的系數(shù)的和．
（2）由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得自然數(shù)n的值．

解答 解：（1）令x=1得（2-$\sqrt{x}$）⁸展開式中的各項系數(shù)和為1，而含x⁴項的系數(shù)為 $C_8^8{2^0}{（-1）^8}=1$，
故（2-$\sqrt{x}$）⁸展開式中不含x⁴項的系數(shù)的和為1-1=0．
（2）∵C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{5}^{3}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{n+1}^{3}$=364，∴n=13．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．