Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．
（1）猜想a_n與2ⁿ-1的大小關系，并用數(shù)學歸納法證明你的結論；
（2）證明：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）先猜想a_n與2ⁿ-1的大小關系，然后利用數(shù)學歸納法證明你的結論；
（2）由（1）得1+a_n≥2ⁿ，$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，然后利用放縮法進行證明不等式．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1）．
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1．
∵g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在[-1，+∞）上單調遞增，
∴由a₁≥1，a_n+1≥（a_n+1）²-1．
得a₂≥2²-1．
進而得到a₃≥2³-1，猜想a_n≥2ⁿ-1．
用歸納法進行證明：
①當n=1時，a₁≥2-1=1成立．
②假設當n=k時，結論成立，即a_k≥2^k-1．
則當n=k+1時，由（x）=（x+1）²-1=x²+2x在[-1，+∞）上單調遞增，
得a_n+1≥（a_n+1）²-1≥2^k+1+1．即當n=k+1時，結論也成立．
綜上由①②得對任意的n∈N^•，a_n≥2ⁿ-1恒成立．
（2）由（1）得1+a_n≥2ⁿ，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}•[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1．

點評 本題主要考查數(shù)學歸納法的應用以及不等式的證明，利用放縮法是解決本題的關鍵．