Question

5．設(shè)實數(shù)a∈[0，π]，若函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+a）-1沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2}{3}$π，π]．

Answer 1

分析 化簡f（x）═（1+cosa）sinx+sinacosx-1=$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$sin（x+θ）-1（θ為常數(shù)），從而由題意得到$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$＜1，從而解得．

解答 解：f（x）=sinx+sin（x+a）-1=sinx+sinxcosa+cosxsina-1
=（1+cosa）sinx+sinacosx-1=$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$sin（x+θ）-1（θ為常數(shù)），
∵函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+a）-1沒有零點，
∴$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$＜1，
即1+2cosa+cos²a+sin²a＜1，
即2cosa＜-1，
即cosa＜$-\frac{1}{2}$；
又∵a∈[0，π]，
∴a∈（$\frac{2}{3}$π，π]，
故答案為：（$\frac{2}{3}$π，π]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與函數(shù)零點的判斷，屬于中檔題．