Question

19．若當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，關(guān)于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 可令f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），則f（x）=（2x+1-2x）（$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$），展開(kāi)后運(yùn)用基本不等式可得最小值，再由不等式恒成立思想，只需m²+8m不大于f（x）的最小值，由二次不等式的解法可得范圍．

解答 解：可令f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
則f（x）=（2x+1-2x）（$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$）
=5+$\frac{4（1-2x）}{2x}$+$\frac{2x}{1-2x}$≥5+2$\sqrt{\frac{4（1-2x）}{2x}•\frac{2x}{1-2x}}$
=5+4=9．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4（1-2x）}{2x}$=$\frac{2x}{1-2x}$，即x=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得最小值9．
又關(guān)于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，
∴有9≥m²+8m，解得-9≤m≤1．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-9，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題和易錯(cuò)題．