Question

8．如圖所示，點P在已知三角形ABC的內部，定義有序實數對（μ，v，ω） 為點P關于△ABC的面積坐標，其中μ=$\frac{△PBC的面積}{△ABC的面積}$，v=$\frac{△APC的面積}{△ABC的面積}$，ω=$\frac{△ABP的面積}{△ABC的面積}$；若點Q滿足$\overrightarrow{BQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，則點Q關于△ABC的面積坐標（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 可作出圖形，然后作QD∥BC，QE∥AB，分別交AB，BC于D，E，從而根據向量加法的平行四邊形法則知$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，從而得到$DQ=\frac{1}{3}BC，QE=\frac{1}{2}BA$，這樣根據三角形的面積公式即可得出${S}_{△ABQ}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$，${S}_{△QBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，這樣即可求出μ，v，ω，從而得出點Q關于△ABC的面積的坐標．

解答 解：如圖，過Q作QD∥BC，交AB于D，作QE∥AB，交BC于E，則：
$DQ=\frac{1}{3}BC，QE=\frac{1}{2}AB$；
∴$μ=\frac{{S}_{△QBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}，ω=\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$；
∴$v=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
∴點Q關于△ABC的面積坐標為（$\frac{1}{2}，\frac{1}{6}，\frac{1}{3}$）．
故答案為：$（\frac{1}{2}，\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，向量數乘的幾何意義，以及三角形的面積公式．