Question

14．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的可能值為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可知，當(dāng)x＞0時(shí)存在x使$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$=1成立，根據(jù)三角形函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可基本不等式求出a＜$\frac{1}{4}$，即可判斷選項(xiàng)．

解答 解：由圖象可知，當(dāng)x＞0時(shí)存在x使$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$=1成立，
∴xsin2x=x²+a，
∴sin2x=x+$\frac{a}{x}$，
∵-1≤sin2x≤1，
∴-1≤x+$\frac{a}{x}$≤1，
∵x+$\frac{a}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{a}{x}}$=2$\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)取等號(hào)，
∴2$\sqrt{a}$＜1，
∴a＜$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象和性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．