Question

9．設P是圓x²+y²=4上任意一點，由點P向x軸做垂線PP₀，垂足為P₀，且$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=x+1與（1）中的軌跡C交于A，B兩點，求弦長|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）設點M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0），由$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$可得點M與點P坐標間的關系式，再根據(jù)點P在圓上代入P點坐標即可得到M坐標方程，即所求軌跡方程；
（2）直線l：y=x+1與（1）中的軌跡C聯(lián)立可得7x²+8x-8=0，利用韋達定理，即可求弦長|AB|的值．

解答 解：（1）設點M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0）．
由$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$得（x₀-x，-y）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（0，-y₀）．
所以x₀-x=0，-y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y₀．
于是x₀=x，y₀=$\frac{2}{\sqrt{3}}$y，
又x₀²+y₀²=4，所以x²+$\frac{4}{3}$y²=4．
所以，點M的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）直線l：y=x+1與（1）中的軌跡C聯(lián)立可得7x²+8x-8=0．
所以x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{24}{7}$

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程、直弦長等有關知識，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強．