Question

1．直線l過點P（1，4）分別交x軸的正方向和y軸正方向于A、B兩點．
①當|OA|+|OB|最小時，求l的方程．
②當|PA|•|PB|最小時，求l的方程．

Answer 1

分析 ①由已知直線l的斜率k＜0，設直線l的方程為y-4=k（x-1），則A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），由此利用均值定理能求出|OA|+|OB|最小時直線l的方程．
②由|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$，利用均值定理能求出當|PA|•|PB|最小時，直線l的方程．

解答 解：①∵直線l過點P（1，4）分別交x軸的正方向和y軸正方向于A、B兩點，
∴直線l的斜率k＜0，設直線l的方程為y-4=k（x-1），
則A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），
∴|OA|+|OB|=-$\frac{4}{k}+1+（-k+4）$
=（-$\frac{4}{k}$-k）+5≥2$\sqrt{（-\frac{4}{k}）•（-k）}$+5=9，
當且僅當k=-2時取等號，∴l(xiāng)的方程為y-4=-2（x-1），
即2x+y-6=0．
②由①知|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{16（{k}^{2}+1）^{2}}{{k}^{2}}}$=-$\frac{4}{k}（{k}^{2}+1）$=4（-$\frac{1}{k}-k$）≥4$•2\sqrt{（-\frac{1}{k}）•（-k）}$=8，
當且僅當k=-1時取等號，
∴l(xiāng)的方程為y-4=-（x-1），即x+y-5=0．

點評 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．