Question

11．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3•2^n-2，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過將a_n=2a_n-1+3•2^n-2兩邊同時除以2^n-2可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-3}}$+3，進而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是以2為首項、3為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3•2^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+3•{2}^{n-2}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-3}}$+3，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{-1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是以2為首項、3為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．