Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$兩邊同時平方、整理可知2（${{a}_{n+1}}^{2}$-1）=${{a}_{n}}^{2}$-1，進而可知數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$-1}是以3為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結論．

解答 解：依題意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$，
∴2${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+1，
∴2（${{a}_{n+1}}^{2}$-1）=${{a}_{n}}^{2}$-1，
又∵${{a}_{1}}^{2}-1$=2²-1=3，
∴數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$-1}是以3為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴${{a}_{n}}^{2}$-1=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\sqrt{\frac{3+{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．