Question

8．若n為正整數(shù)，試比較3•2^n-1與n²+3的大小，分別取n=1，2，3，4，5加以試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 通過比較n=1，2，3，4，5時，兩個代數(shù)式的大小，猜想結(jié)論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 （理科）解：當(dāng)n=1時，3•2^n-1＜n²+3；
當(dāng)n=2時，3•2^n-1＜n²+3；
當(dāng)n=3時，3•2^n-1=n²+3；
當(dāng)n=4時，3•2^n-1＞n²+3；
當(dāng)n=5時，3•2^n-1＞n²+3；…5'
猜想：當(dāng)n≥4時，3•2^n-1＞n²+3…7'
證明：當(dāng)n=4時，3•2^n-1＞n²+3成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時，3•2^k-1＞k²+3成立，
則n=k+1時，左式=3•2^k=2•3•2^k-1＞2（k²+3），右式=（k+1）²+3，
因?yàn)?（k²+3）-[（k+1）²+3]=k²-2k+2=（k-1）²+1＞0，
所以，左式＞右式，即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
綜上所述：當(dāng)n≥4時，3•2^n-1＞n²+3…14'

點(diǎn)評 本題庫存數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，證明步驟的應(yīng)用，歸納推理，考查計算能力．