Question

18．已知偶函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）在點(diǎn)（1，1）處的切線與直線x+2y+9=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+mln（x+1）（m≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）當(dāng)m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式ln（e^x+1）＞e^2x-e^3x恒成立．（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到b=0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，解得a，c，繼而得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）先求導(dǎo)，注意定義域，令g'（x）=0，解得x₁，x₂，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出極值和單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以證明．

解答 （Ⅰ）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以b=0．
因?yàn)閒'（x）=2ax+b=2ax，由題意知$\left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 2a•（-\frac{1}{2}）=-1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=0\end{array}\right.$
所以f（x）=x²．
（Ⅱ）g（x）=x²+mln（x+1）由題意知，g（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），$g'（x）=2x+\frac{m}{x+1}=\frac{{2{x^2}+2x+m}}{x+1}$．
因?yàn)?m＜\frac{1}{2}$，則g'（x）=0有兩個(gè)不同解，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
①若m＜0，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}＜-1，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}＞-1$，
即x₁∉（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞）．
此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-1，x2）	x2	（x2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

可知：m＜0時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（-1，\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}）$；g（x）有唯一極小值點(diǎn)$x=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
②若$0＜m＜\frac{1}{2}$，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}＞-1$，∴x₁，x₂∈（-1，+∞），
此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

可知：$0＜m＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-1，\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}）$，$（\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}，+∞）$，
單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}，\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}）$；
函數(shù)g（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)$x=\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}$和一個(gè)極小值點(diǎn)$x=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
綜上所述：①若m＜0，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（-1，\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}）$；
g（x）有唯一極小值點(diǎn)$x=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}$；
②若$0＜m＜\frac{1}{2}$，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-1，\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}）$，$（\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}，\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}）$；
函數(shù)g（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)$x=\frac{{-1-\sqrt{1-2m}}}{2}$和一個(gè)極小值點(diǎn)$x=\frac{{-1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
（Ⅲ） 當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)g（x）=x²-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x³-g（x）=x³-x²+ln（x+1）
則$h'（x）=3{x^2}-2x+\frac{1}{x+1}=\frac{{3{x^3}+{{（x-1）}^2}}}{x+1}$，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，則x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0），即x³＞x²-ln（x+1）恒成立．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有l(wèi)n（x+1）＞x²-x³．
所以?x∈R，不等式ln（e^x+1）＞e^2x-e^3x恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值的基本題型，考查了分類討論的思想，關(guān)鍵是抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)，屬于難題．