Question

12．向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，2m），$\overrightarrow$=（sinθ，cosθ-1），對任意θ∈R，f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2＜0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積，求出f（θ），將其轉(zhuǎn)換成含有t的一元二次函數(shù)，討論對稱軸的取值，判斷其最大值．

解答 解：f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2=sin²θ+2m（cosθ-1）+2=-cos²θ+2mcosθ-2m+3，
令cosθ=t，t∈[-1，1]
f（t）=-t²+2mt-2m+3，t∈[-1，1]
對稱軸t=m，
當(dāng)m＜1，f（t）[-1，1]單調(diào)遞減，當(dāng)t=-1取最大值為-4m+3＜0，
∴m＞$\frac{3}{4}$，
此時m∈（$\frac{3}{4}$，1），
當(dāng)m≥1，f（t）[-1，1]單調(diào)遞增，當(dāng)t=1時取最大值2，不滿足，
當(dāng)0＜m＜1時，當(dāng)x=m取最大值，最大值為-（m+1）²+4＞0，
m＞1或m＜-3，不滿足，
綜上可知，m∈（$\frac{3}{4}$，1）時，對任意θ∈R，f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2＜0成立．

點評 本題考查向量的數(shù)量積及一元二次函數(shù)對稱軸的取值判斷函數(shù)的最值，屬于中檔題．