Question

2．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），則前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅=（　�。�

• A． 4026
• B． 4027
• C． 4028
• D． 4029

Answer 1

分析 由正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），可得a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），
∴a₃=3，a₄=1，a₅=2，…，
∴a_n+3=a_n．
則前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅=S_671×3+2=（1+2+3）×671+（1+2）
=4029．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．