Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足：點（a_n，a_n+1）在直線y=x-3上，且a₁=18
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2^a_n，{b_n}的前n項積為T_n，求證：T_n≤2⁶³．

Answer 1

分析 （1）由點（a_n，a_n+1）在直線y=x-3上，可得a_n+1=a_n-3，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=2^a_n=8^7-n．可得{b_n}的前n項積為T_n=${8}^{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n}$，由于$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{8}$≤21，即可得出．

解答 （1）解：∵點（a_n，a_n+1）在直線y=x-3上，
∴a_n+1=a_n-3，
即a_n+1-a_n=-3，
又a₁=18，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為18，公差為-3．
∴a_n=18-3（n-1）=21-3n．
（2）證明：b_n=2^a_n=8^7-n．
∴{b_n}的前n項積為T_n=8^{6+5+…+（7-n）}=${8}^{\frac{n（6+7-n）}{2}}$=${8}^{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n}$，
∵$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{8}$≤$-\frac{1}{2}×{6}^{2}+\frac{13}{2}×6$=21，
∴T_n≤8²¹=2⁶³．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．