Question

2．若不等式x²-ay²≥（2+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立，則實數a的最大值為2$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 由題意可得a≤$\frac{{x}^{2}-2xy}{xy+{y}^{2}}$，分子分母同除以y²，再令t=$\frac{x}{y}$+1，可得a≤t+$\frac{3}{t}$-4，運用基本不等式可得右邊的最小值，進而得到a的范圍，即有a的最大值．

解答 解：不等式x²-ay²≥（2+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立，
即為a≤$\frac{{x}^{2}-2xy}{xy+{y}^{2}}$，即為a≤$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{2x}{y}}{\frac{x}{y}+1}$，
令t=$\frac{x}{y}$+1，（t＞1），則$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{2x}{y}}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{（t-1）^{2}-2（t-1）}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-4≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$-4=2$\sqrt{3}$-4，
當且僅當t=$\sqrt{3}$＞1取得最小值2$\sqrt{3}$-4，
即有a≤2$\sqrt{3}$-4．
故答案為：2$\sqrt{3}$-4．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和基本不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．