Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和為S_n
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的等差數(shù)列的三個連續(xù)奇數(shù)項，得到數(shù)列的公差，寫出數(shù)列的通項，以及根據(jù)求和公式即可求出．
（2）根據(jù)數(shù)列的前n項和公式，求出S_n=n²，繼而求出b_n=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），根據(jù)裂項求和得到數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列a_n滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₃+a₅+a₇=33，
∴a₅=11
∴d=$\frac{11-7}{2}$=2
∴a_n=2n+1，
∴a₁=3
∴S_n=3×2¹+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，
∴2S_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=3×2¹+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4n+4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項法的合理運用．