Question

18．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）上總存在點(diǎn)P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，那么橢圓離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}-1$）
• B． [$\sqrt{2}-1，\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$）

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，P在以F₁F₂為直徑的圓上，由題意可得半徑為c的圓與橢圓有交點(diǎn)，即為
c≥b，運(yùn)用離心率公式和不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，可得
PF₁⊥PF₂，P在以F₁F₂為直徑的圓上，
可設(shè)圓的半徑為c，圓心為O，
由題意可得橢圓與圓均有交點(diǎn)，
則c≥b，即c²≥b²=a²-c²，
即為c²≥$\frac{1}{2}$a²，
e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且0＜e＜1，
可得e的范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的范圍，考查向量垂直的條件，運(yùn)用圓與橢圓有交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．