Question

19．直線l過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 求出拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），通過若l與x軸垂直，求出|AB，設(shè)所求直線l的方程為y=k（x-1）．與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理通過拋物線的性質(zhì)，求解直線方程即可．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
若l與x軸垂直，則|AB|=4，不符合題意，
∴可設(shè)所求直線l的方程為y=k（x-1）．
代入拋物線方程化簡(jiǎn)可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=$\frac{2k2+4}{k2}$．
又AB過焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2k2+4}{k2}$+2=8，
∴$\frac{2k2+4}{k2}$=6，解得k=±1．
∴所求直線l的方程為y+x-1=0或x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．