Question

1．某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時(shí)間t（s）的變化規(guī)律大致可用y=-（1+4sin²$\frac{tπ}{60}$）x²+20（sin$\frac{tπ}{60}$）x（t為時(shí)間參數(shù)，x的單位為m）來描述，其中地面可作為x軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于地面的直線為y軸．
（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍半徑的最大值；
（2）若計(jì)劃在一建筑物前維修一個(gè)矩形花壇并在花壇內(nèi)裝兩個(gè)這樣的噴泉（如圖所示），如何設(shè)計(jì)花壇的尺寸和兩個(gè)噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

分析 （1）令y=0，可結(jié)合t∈（0，60），即可求出噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）花壇的長(zhǎng)、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=100$的條件下，求S=xy的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，$x=\frac{20sin\frac{tπ}{60}}{1+4si{n}^{2}\frac{2tπ}{60}}$=$\frac{20}{si{n}^{-1}\frac{tπ}{60}+4sin\frac{tπ}{60}}$，
因t∈（0，60）時(shí)，$sin\frac{tπ}{60}∈（0，1）$，故$si{n}^{-1}\frac{tπ}{60}+4sin\frac{tπ}{60}≥4$，
從而當(dāng)$sin\frac{tπ}{60}=\frac{1}{2}$，即當(dāng)t=10或50時(shí)，x有最大值5，
所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是5m；
（2）設(shè)花壇的長(zhǎng)、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，
矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，
依題意得：$（\frac{x}{4}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}=25$，（x＞0，y＞0）
問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=100$的條件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•$\frac{x}{2}$•y≤$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=100，
由$\frac{x}{2}$=y和$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=100及x＞0，y＞0得：
x=$10\sqrt{2}$，y=$5\sqrt{2}$，
∴S_max=100，
故當(dāng)花壇的長(zhǎng)為$10\sqrt{2}$m、寬為$5\sqrt{2}$m、兩噴水器位于矩形分成的兩個(gè)正方形的中心時(shí)符合要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬中檔題．