Question

16．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$．
（1）討論函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）證明：（$\frac{2015}{2014}$）²⁰¹⁵＞e（其中e為自然數(shù)的底數(shù)）；
（3）證明：$\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}$＜lnn（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a進行分類討論，進而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）要證明原式成立，只要證明即證ln（1+$\frac{1}{2014}$）＞$\frac{\frac{1}{2014}}{1+\frac{1}{2014}}$，由（1）可得當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，繼而到ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，問題得以證明．
（3）由（1）得：當a=1時，f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，又由f（1）=0，可得ln（x+1）＞1-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上恒成立，進而利用對數(shù)的運算性質(zhì)，可得答案

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$，x＞-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x+1-a}{（x+1）^{2}}$
①當a≤0時，此時f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
②當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=a-1，
當f′（x）＞0時，即x＞a-1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即-1＜x＜a-1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，當a≤0時，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
a＞0時，函數(shù)f（x）在（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，a-1），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（2）要證明：（$\frac{2015}{2014}$）²⁰¹⁵＞e，只要證2015ln（$\frac{2015}{2014}$）＞1，即證ln（1+$\frac{1}{2014}$）＞$\frac{1}{2015}$，即證ln（1+$\frac{1}{2014}$）＞$\frac{\frac{1}{2014}}{1+\frac{1}{2014}}$，
由（1）可得當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴l(xiāng)n（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，
當x=$\frac{1}{2014}$時，
即ln（1+$\frac{1}{2014}$）＞$\frac{\frac{1}{2014}}{1+\frac{1}{2014}}$，
∴（$\frac{2015}{2014}$）²⁰¹⁵＞e
（3）由（1）得：當a=1時，f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又由f（0）=0，
故f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$＞0在（0+∞）上恒成立，
即ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$在（0，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n（x+1）＞1-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n2＞$\frac{1}{2}$
ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，
ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$
…，
ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
累加得：ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
∴$\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}$＜lnn（n∈N^*，n≥2）．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解不等式，以及不等式的證明，是一道綜合題