Question

14．在計算機的算法語言中有一種函數(shù)[x]叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$，則函數(shù)y=[f（x）]+[f（-x）]的值域為（　�。�

• A． {0}
• B． {-1，0}
• C． {-1，0，1}
• D． {-2，0}

Answer 1

分析 根據(jù)解析式判斷f（x）為奇函數(shù)，化簡得出：f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)得出f（x）的值域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
分類得出當f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，當f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）時，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，當f（x）=0時，[f（x）]=0，[f（-x）]=0，即可求解問題．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$
f（-x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$，
∴化簡得出：f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$$＜\frac{1}{2}$，
∴當f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
當f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）時，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
當f（x）=0時，[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴函數(shù)y=[f（x）]+[f（-x）]的值域為{-1，0}
故選：B．

點評 本題考察了取整函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)的運用，考察了學(xué)生的閱讀分析問題的能力，對于代數(shù)式的運用．