Question

13．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該求的體積為（　�。�

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 4π
• C． 2π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 作出棱錐直觀圖，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)找出球心位置計(jì)算球的半徑．

解答 解：根據(jù)三視圖作出棱錐D-ABC的直觀圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=$\sqrt{2}$，
取AB中點(diǎn)E，過(guò)E作EH⊥底面ABC，且HE=$\frac{1}{2}DC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．連結(jié)AH，則H為三棱錐外接球的球心．AH為外接球的半徑．
∵AE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AH=$\sqrt{A{E}^{2}+E{H}^{2}}$=1．
∴棱錐外接球的體積V=$\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接球的關(guān)系，尋找球心是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．