Question

1．已知圓B的圓心B坐標為（2，1）直線l：x+2y-2=0與圓B相交于M，N兩點，|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求圓B的方程；
（2）設(shè)直線l：x+2y-2=0與x，y軸分別交于點A，C，將四邊形OABC折疊，使O點落在線段CB上，若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的半徑為r，運用點到直線的距離公式和弦長公式，計算可得r=1，進而得到圓的方程；
（2）由題意可得四邊形OABC為矩形，即可得到對稱軸的斜率，即可得到所求直線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓的半徑為r，
圓心到直線的距離為d=$\frac{|2+2-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
可得弦長為|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得r=1，
即有圓B的方程為（x-2）²+（y-1）²=1；
（2）由題意可得A（2，0），C（0，1），
四邊形OABC為矩形，
設(shè)O點與D點關(guān)于直線CE對稱，
可得直線CE的斜率為-1，
即有直線CE的方程為y=-x+1，
即折痕所在直線的方程為y=-x+1．

點評 本題考查圓的方程的求法，注意運用點到直線的距離公式和弦長公式，考查對稱問題的解法，注意結(jié)合圖形，考查運算能力，屬于中檔題．