Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sinωx•cosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（其中ω＞0），且f（x）滿足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x）．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），再由f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），ω＞0，從而可得其周期為π，解得ω的值．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，算出g（x）的解析式，再由x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinωx•cosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），∴f（x+π）=f（x）．
∴y=f（x）是以π為周期的函數(shù)．
又ω＞0，
∴其周期為π=$\frac{2π}{2ω}$，
∴解得ω=1，
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
再將橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，得到g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]，可得4x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴由sin（4x+$\frac{2π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，得g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）∈[1，2]．
因此g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了三角恒等變換、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)值域的求法等知識(shí)，屬于中檔題．