Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，g（x）=alnx．
（1）討論函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜x²-4x在（0，+∞）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x-alnx，
y′=x-2-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{x}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-a-1}{x}$，
令m（x）=（x-1）²-a-1，
①-a-1≥0即a≤-1時(shí)，
y′＞0，函數(shù)在（0，+∞）遞增，
②-a-1＜0，即a＞-1時(shí)，
令m′（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{a+1}$＞1，或x＜1-$\sqrt{a+1}$＜0，（舍），
令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1+$\sqrt{a+1}$，
故函數(shù)y=f（x）-g（x）在（0，1+$\sqrt{a+1}$）遞減，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：h′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{x}$＞2，
故x²-2x-a＞2x在（0，+∞）恒成立，
即a＜x²-4x在（0，+∞）恒成立，
令m（x）=x²-4x，（x＞0），
則m（x）=（x-2）²-4≥-4，
故a≤-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．