Question

3．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，取DE的中點F，則$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值為（　�。�

• A． $-\frac{5}{8}$
• B． $-\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{11}{8}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{AC}$用$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，再代入數量積公式計算即可．

解答 解：如圖所示，
∵D、E分別是邊AB、BC的中點，F是DE的中點，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{4}$×1²-$\frac{3}{4}$×1×1×cos$\frac{π}{3}$
=-$\frac{1}{8}$．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的線性表示與數量積運算問題，是基礎題．