Question

1．如圖所示的矩形OABC是某城鎮(zhèn)的一塊非農(nóng)業(yè)用地，已知圖中的點(diǎn)D在邊OA上，OC=3km，OD=4km，DA=a km，曲線段CD是分別以O(shè)D、OC為長(zhǎng)、短半軸的一段橢圓�。�當(dāng)?shù)卣�府在新城�?zhèn)建設(shè)中，將圖中陰影部分規(guī)劃為居民區(qū)，同時(shí)規(guī)劃過(guò)曲線段CD上某一點(diǎn)P修建一條筆直的公路EF，分別與OA、BC交于E、F，且∠OEF=45°．（要求公路不穿越居民區(qū)；計(jì)算時(shí)忽略公路的寬度．）
（Ⅰ）試探求a的最小值；
（Ⅱ）如果在四邊形ABFE用地內(nèi)在規(guī)劃再規(guī)劃建造一個(gè)半徑為1.5km的圓形公園M，為使該規(guī)劃得以實(shí)現(xiàn)，四邊形OABC的面積至少為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，OC所在直線為y軸橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x＞0，y＞0），設(shè)直線EF的方程為y=-x+b，代入橢圓方程，利用△=0，可得b=5，即可求a的最小值；
（Ⅱ）由題意，圓M是四邊形ABFE的內(nèi)切圓時(shí)，面積最�。�

解答 解：（Ⅰ）由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，OC所在直線為y軸橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x＞0，y＞0），
設(shè)直線EF的方程為y=-x+b，代入橢圓方程，整理可得25x²-32bx+16b²-144=0，
△=（32b）²-100（16b²-144）=0，可得b=5，
∴OE=5，DE=1，
∴a的最小值是1；
（Ⅱ）由題意，圓M是四邊形ABFE的內(nèi)切圓時(shí)，面積最�。�
設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，1.5）（a＞0），到直線y=-x+5的距離d=$\frac{|a-3.5|}{\sqrt{2}}$=1.5，
∴a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3.5，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3，
∴四邊形OABC的面積至少為$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3）×3=$\frac{9\sqrt{2}+9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．