Question

16．己知P是面積為S三角形ABC內(nèi)部點(diǎn)，則三角形PBC的面積大于$\frac{S}{3}$的概率是$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB、AC上分別有點(diǎn)D、E滿足AD=$\frac{2}{3}$AB，且AE=$\frac{2}{3}$AC，可得△ADE∽△ABC，且相似比為$\frac{2}{3}$．根據(jù)題意，當(dāng)P在△ADE內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積大于△ABC面積的$\frac{1}{3}$，由此結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和幾何概型計(jì)算公式即可得到本題的概率．

解答 解：設(shè)AB、AC上分別有點(diǎn)D、E滿足AD=$\frac{2}{3}$AB，且AE=$\frac{2}{3}$AC
∴△ADE∽△ABC，∴DE∥BC，且DE=$\frac{2}{3}$BC，
∵A到DE的距離等于A到BC距離的$\frac{2}{3}$，
∴DE到BC的距離等于△ABC高的$\frac{1}{3}$，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且在△ADE內(nèi)時(shí)，P到BC的距離大于DE到BC的距離，
因此，當(dāng)P在△ADE內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積大于△ABC面積的$\frac{S}{3}$，
∴△PBC的面積大于$\frac{S}{3}$的概率是P=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．
故答案為：$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出△ABC內(nèi)部一點(diǎn)P，求△PBC的面積大于△ABC面積的$\frac{1}{3}$的概率．著重考查了相似三角形的性質(zhì)和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．