Question

5．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的焦距為2，且過橢圓右焦點F₂與上頂點的直線l₁與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在直線l₂，滿足l₂∥l₁，并且l₂與橢圓E交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與y軸相切，若存在，請求出l₂的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過焦距為2可知c=1、F₂（1，0），進(jìn)而直線l₁的方程為：bx+y-b=0，利用直線l₁與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切可知b=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在直線l₂滿足題設(shè)條件并設(shè)l₂：y=-x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知m²＜3，通過設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用以AB為直徑的圓與y軸相切可知$\frac{1}{2}$|AB|=|$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）|，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵焦距為2，
∴c=1，∴F₂（1，0），
∴過橢圓右焦點F₂與上頂點的直線l₁的方程為：$\frac{x}{1}+\frac{y}=1$，即bx+y-b=0，
∵直線l₁與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，
∴$\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$，解得b=1，
∴a²=b²+c²=1+1=2，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）結(jié)論：存在直線l₂：y=-x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$滿足題設(shè)條件．
理由如下：
假設(shè)存在直線l₂滿足題設(shè)條件，
由（1）知l₁：y=-x+1，
設(shè)l₂：y=-x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x²-4mx+2m²-2=0，則△=（-4m）²-12（2m²-2）＞0，即m²＜3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，
∴AB的中點橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{2m}{3}$，則以AB為直徑的圓的半徑r=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=|$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）|，
整理得：$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=8x₁x₂，
∴（$\frac{4m}{3}$）²=8•$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴m²=$\frac{3}{2}$＜3，
∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故存在直線l₂：y=-x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$滿足題設(shè)條件．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．