Question

20．若函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，0]
• B． [-1，+∞）
• C． [0，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立解答案

解答 解：由f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$，得f′（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+{ax}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x³+ax²-1，
要使函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，
則g（x）=2x³+ax²-1在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x²+2ax=2x（3x+a），
當(dāng)a=0時，g′（x）≥0，g（x）在R上為增函數(shù)，則有g(shù)（$\frac{1}{2}$）≥0，解得$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{4}$-1≥0，a≥3（舍）；
當(dāng)a＞0時，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則g（$\frac{1}{2}$）≥0，解得$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{4}$-1≥0，a≥3；
當(dāng)a＜0時，同理分析可知，滿足函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)的a的取值范圍是a≥3（舍）．
故選：D．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了導(dǎo)函數(shù)在求解含有參數(shù)問題中的應(yīng)用，是中檔題．