Question

8．設A，B是拋物線C：y²=2px（p＞0）上的兩個動點，線段AB的中點為M，F為拋物線C的焦點，且∠AFB=60°，過M作拋物線C的準線l的垂線，垂足為N，則$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的取值范圍為[1，2）．

Answer 1

分析 先設出|AF|，|BF|分別過A，B，M作準線的垂線，垂足分別是A′，B′，N，進而表示出|MN|，利用余弦定理表示出|AB|利用基本不等式求得其范圍，最后求得$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值，利用兩邊之和大于第三邊，即可得出結論．

解答 解：設|AF|=r₁，|BF|=r₂，分別過A，B，M作準線的垂線，垂足分別是A′，B′，N，則|MN|=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$，
由余弦定理得|AB|²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos60°=（r₁+r₂）²-3r₁r₂≥$\frac{1}{4}$（r₁+r₂）²，
∴（$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$）²≥1，
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值為1．
∵|AF|+|BF|＞|AB|，∴2|MN|＞|AB|，
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$＜2
故答案為：[1，2）．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質．注重了學生對基礎知識綜合運用．