Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-ax+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+4x-a}{{（1{-x}^{2}）}^{2}}$，
若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
只需f′（x）＞0或f′（x）＜0[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上恒成立即可，
a=0時(shí)，f′（x）＞0在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
a≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-a＞0}\\{\frac{2}{a}＜0}\\{f′（\frac{1}{3}）=-\frac{10}{9}a+\frac{4}{3}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a＜0}\\{△=\frac{2}{a}＞0}\\{f′（\frac{1}{3}）f′（\frac{1}{2}）=（-\frac{10}{9}a+\frac{4}{3}）（-\frac{5}{4}a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞$\frac{12}{5}$或a＜$\frac{4}{5}$，
綜上，a∈（-∞，$\frac{4}{5}$）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．